线性代数的本质（简版）

序：

1、参考视频：《线性代数的本质》 3Blue1Brown B站视频

2、线性代数很抽象，重点在于理解，本笔记中重要内容加粗高亮标记

一、向量

向量的表示有多种，包含方括号、大括号、横向、竖向等。

为了与“点”进行区分，本教程采用竖向，方括号表示向量

1.1 向量里的内容

很明显，一个二维向量$\bigl[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\bigr]$ 中的1、2指的是这个向量的横坐标与纵坐标，如图所示

这里引申出第一个重要概念：定义及其应用

我们定义了向量的内容为其对应的坐标轴的坐标值，后续向量的所有计算都在此基础上进行， 我们可以随着学习的深入知道向量如何进行计算，得出新的坐标值。但坐标值和我们的实际应用有什么关系呢？如果没有切实的关系，无法将其应用到实际计算中。

一个最常用的例子是，对物体进行受力分析，这个力就是一个向量。很巧妙的是：力的分力和向量一样，对应的都是垂直投影（“巧妙”加引号）

所以，对于向量的定义（投影长度）与实际（受力情况）吻合，才是定义及其应用的关键。在后面的矩阵中，存在着多个定义及其应用的情况，这也是线性代数抽象的原因之一（定义很多）。

1.2 向量的表现形式

向量的表现形式可分为两种：$\vec{a}=$$\bigl[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\bigr]$ 、$\vec{a}=$1i+2j 如果我们仅仅把这两个表达式看成是向量的不同表达形式，那么我们就错过了向量中最重要的内容：线性关系，而要理解线性关系，我们只需要明白向量的加法、乘法即可。

1.2.1 向量的加法

根据之前篇章的定义及其应用内容，我们显然可以知道，向量的加法也是一种定义，其定义内容对应着实际应用。

向量加法可以定义出很多种方式，但只有对应实际应用的才是可行的：对受力情况来说，两个分力的合力符合平行四边形定则，这是一种客观物理定理，而向量的加法，同样定义为符合平行四边形定则

通过平行系变形定则可知，$\bigl[\begin{smallmatrix} a \\ b \end{smallmatrix}\bigr]$ +$\bigl[\begin{smallmatrix} c \\ d \end{smallmatrix}\bigr]$ =$\bigl[\begin{smallmatrix} a+c \\ b+d \end{smallmatrix}\bigr]$

1.2.2 向量的乘法

向量乘法的定义显然要和我们直观理解相同，即n$\bigl[\begin{smallmatrix} a \\ b \end{smallmatrix}\bigr]$=n个$\bigl[\begin{smallmatrix} a \\ b \end{smallmatrix}\bigr]$相加

所以：n$\bigl[\begin{smallmatrix} a \\ b \end{smallmatrix}\bigr]$=$\bigl[\begin{smallmatrix} na \\ nb \end{smallmatrix}\bigr]$

有了向量的加法和乘法，我们可以得到线性代数里最重要的内容：线性关系

1.3 向量的线性关系

1.3.1 向量的两种形式

前面我们提到了：向量的表现形式可分为两种：$\vec{a}=$$\bigl[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\bigr]$ 、$\vec{a}=$1i+2j

第二种表达式可以写成：$\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}$，之所以可以写成这种表达式，是因为我们可以找到两个向量： $\vec{i}$ =$\bigl[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr]$ $\vec{j}$ =$\bigl[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr]$

任意一个非零向量都会在x轴与y轴上有投影，也就是可以通过向量加法及乘法计算写成$a\vec{i}+b\vec{j}$的形式（平行四边形定则），这个向量的两种表达分别为坐标、与向量 $\vec{i}$、 $\vec{j}$的关系，而向量 $\vec{i}$、 $\vec{j}$我们把他们叫做 基向量

1.3.2 向量的线性关系

之所有我们单独提出来$\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}$这种描写向量的形式，是因为其蕴含的本质：

任意一个向量可以表达成基向量的线性组合

所谓的线性关系指：当坐标轴产生某种指定的变化后，这种$\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}$的关系保持不变，举例：$\vec{a}=2\vec{i}+3\vec{j}$的图形如下：

将整个坐标轴连同向量放大一倍：

此时的向量$\vec{a}$在新的坐标系下发生了变化（$\vec{a}=4\vec{i}+6\vec{j}$）（新坐标系下的值，新坐标系下基向量仍然为 $\vec{i}$ =$\bigl[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr]$ $\vec{j}$ =$\bigl[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\bigr]$），但向量$\vec{a}$和原基向量的线性关系不变，仍然为$\vec{a}=2\vec{oldi}+3\vec{oldj}$（在新的坐标系下把旧基向量加old以示区别）

1.3.3 向量线性的原因

之所以向量保持着线性关系，其原因有二：

1、$\vec{a}=1\vec{i}+2\vec{j}$ 可得知一个向量与基向量的关系只包括 缩放、相加

2、坐标系的变换需要满足一定条件：坐标轴平行且等距分布、原点不变，在此基础上，坐标轴的旋转（任意方向）、剪切、缩放都不破坏线性关系。

1.3.4 向量线性的用途

向量线性变化的用途在于：追踪某个向量在坐标系变换后的新坐标是一件苦难的事，想象下将坐标轴旋转缩放组合动作，向量的坐标难以追踪，但基向量因为跟随x、y轴运动，其变换后的位置易于追踪。

无论坐标系如何线性变换，只需要找到原基向量在新坐标系下的位置，即可通过线性计算原向量新坐标系下的位置，对于计算机3d显示等应用中非常重要。

二、矩阵

2.1 矩阵的起源

前面描述了一个坐标系变换后，变换前的向量也发生了变化，那么用什么去描述这个变化本身呢？

以1.3.2为例，变换后原基向量 $\vec{i}$、 $\vec{j}$在新的坐标系下变成了一个“普通”的向量，

变换后 $\vec{oldi}$ =$\bigl[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr]$ $\vec{oldj}$ =$\bigl[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2 \end{smallmatrix}\bigr]$，变换后向量$\vec{a}=2\vec{oldi}+3\vec{oldj}$，可以通过线性关系计算出，新坐标系下向量 $\vec{a}$ =$\bigl[\begin{smallmatrix} 4 \\ 6 \end{smallmatrix}\bigr]$

本例中坐标系的变换为缩放2倍，这个变换就可以用矩阵表示：

发现了没有，这个矩阵实际上是将原基向量在新坐标系下的值，按照列的方向写进了矩阵中。

$\ \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&2 \\ \end{bmatrix}$表示原坐标系下的基向量在新坐标系下的数（$\vec{oldi}$ =$\bigl[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\bigr]$ $\vec{oldj}$ =$\bigl[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2 \end{smallmatrix}\bigr]$）

2.2 矩阵乘向量

显然，我们可以定义一个矩阵乘向量了，矩阵表示的是坐标系变换的规则，向量表示的是变换前的向量，计算结果仍然是一个向量，表示的是变换后的新向量

可知：$\ \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&2 \\ \end{bmatrix}$$\ \begin{bmatrix} 2 \\ 3\\ \end{bmatrix}$=$\ \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ \end{bmatrix}$

具体计算过程为$\ \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&2 \\ \end{bmatrix}$$\ \begin{bmatrix} 2 \\ 3\\ \end{bmatrix}$=$2\begin{bmatrix} 2 \\ 0\\ \end{bmatrix}$ $\vec{i}$+$\ 3\begin{bmatrix} 0 \\ 2\\ \end{bmatrix}$ $\vec{j}$=$\ \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ \end{bmatrix}$

上式中的中间计算步骤即体现了线性关系

2.3 矩阵乘矩阵

前面我们定义了一个矩阵，这个矩阵实际上是将原基向量在新坐标系下的值，按照列的方向写进了矩阵中。

如果要定义两个矩阵相乘，首先我们必须沿用以前的定义，两个矩阵均表示原基向量在新坐标系下的变换，并分别按照列的方向写进了矩阵中。

如$\ \begin{bmatrix} 4&0 \\ 0&4 \\ \end{bmatrix}$$\ \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&2 \\ \end{bmatrix}$ ，它的几何意义是？

实际上，上面的矩阵相乘，表示的是初始基向量按照$\ \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&2 \\ \end{bmatrix}$进行线性变换，形成了新的坐标系，得出了新的基向量，新的基向量再按照$\ \begin{bmatrix} 4&0 \\ 0&4 \\ \end{bmatrix}$的规则再次进行线性变换，最终得到了一个组合的线性变换，可以以此为依据和向量相乘

注意：矩阵相乘是有先后顺序的，从几何意义上很容易理解，一个坐标系的线性动作组合顺序不同，会产生不同的结果

可知，矩阵相乘的结果是初始基向量在最终坐标系下对应的向量值，他们的结果仍然是一个矩阵，仍然需要满足前述定义，按照列的方向写进了矩阵中。

显然，矩阵相乘分别计算初始基向量在最终坐标系下的$\vec{oldi}，\vec{oldj}$，再写入矩阵中即可。

$\ \begin{bmatrix} 4&0 \\ 0&4 \\ \end{bmatrix}$$\ \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&2 \\ \end{bmatrix}$ 中，$\vec{oldi}$=$\ \begin{bmatrix} 4&0 \\ 0&4 \\ \end{bmatrix}$$\ \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$，$\vec{oldj}$=$\ \begin{bmatrix} 4&0 \\ 0&4 \\ \end{bmatrix}$$\ \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$，计算出后写入矩阵即得到了矩阵的乘结果。

三、行列式

3.1 行列式的起源

前面两个章节我们得出了线性代数的第一个重要结论：通过线性变换可以快速计算新向量的值，其本质在于向量缩放与加法计算、坐标系线性变换、线性关系保持不变。

线性代数除了上面的特性外，存在着另外一个特性：

以上图为例，当坐标系发生线性变化时，原坐标系中图形面积也跟随发生变化，但基向量面积缩放比例和其他所有面的面积缩放比例相同！

比如上面的坐标系发生了线性变化，变化后初始基向量的新数值为$\ \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&2 \\ \end{bmatrix}$

仍然是通过线性变化的矩阵，可得知变化后所有面积的缩放倍数，记为：

det（$\ \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0&2 \\ \end{bmatrix}$），即我们常见的行列式：$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{vmatrix}$！

行列式是用于计算变换前后的缩放！！

3.1 行列式的计算

对于1.3.2的变换，可以明显看出，变换后的缩放倍数为4，即$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{vmatrix}$=4

二阶行列式的计算很简单：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix}$=ad-bc

截取原视频的一张图片，用于证明参考使用：

（顺带一提：上图中斜向的蓝色线，即前述所谓的线性变化之一：剪切）

四、三维/三阶

以上内容是在二位坐标系上的几何意义，当然我们可以拓展到三维/三阶中

三维坐标系中：

4.1 向量

向量：$\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\\end{bmatrix}$，显然可以知道：a、b、c是向量在三个坐标轴的投影，通常我们用x、y、z表示三个方向的坐标轴，用 $\vec{i}$、 $\vec{j}$、 $\vec{k}$表示基向量

4.2 矩阵

矩阵：$\begin{bmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i\\\end{bmatrix}$，显然可以知道：竖向依次是原基向量 $\vec{i}$、 $\vec{j}$、 $\vec{k}$变换后的数，矩阵的乘法和二维运算一致，可轻易推导出三维/三阶矩阵的运算公式

4.3 行列式

行列式：$\begin{vmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i\\\end{vmatrix}$，显然可以知道，此时缩放的是体积而非面积（x、y、z同时缩放，形成体积变化），行列式的计算结果是一个标量，其计算推理不同矩阵那样简洁，此处不叙

五、其他

线性代数中还有张量、张成空间、点积叉积等其他内容，同时对于前面的计算，如行列式存在着维度变化等细节，此部分内容不在本篇叙述。